设数列{an}的前n项和为Sn，且2an=Sn+2n+1．求a1，a2，a3；求证：数列{an+2}是等比数列；求数列{n•an}

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n=S_n+2n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求证：数列{a_n+2}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{n•a_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分13分）
（I）由题意，当n=1时，得2a₁=a₁+3，解得a₁=3．
当n=2时，得2a₂=（a₁+a₂）+5，解得a₂=8．
当n=3时，得2a₃=（a₁+a₂+a₃）+7，解得a₃=18．
所以a₁=3，a₂=8，a₃=18为所求．…（3分）
（Ⅱ）证明：因为2a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立．
两式相减得：2a_n+1-2a_n=a_n+1+2．
所以a_n+1=2a_n+2（n∈N^*），即a_n+1+2=2（a_n+2）．…（5分）
所以数列{a_n+2}是以a₁+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ） 得：a_n+2=5×2^n-1，即a_n=5×2^n-1-2（n∈N^*）．
则na_n=5n•2^n-1-2n（n∈N^*）．…（8分）
设数列{5n•2^n-1}的前n项和为P_n，
则P_n=5×1×2⁰+5×2×2¹+5×3×2²+…+5×（n-1）•2^n-2+5×n•2^n-1，
所以2P_n=5×1×2¹+5×2×2²+5×3×2³+…+5（n-1）•2^n-1+5n•2ⁿ，
所以-P_n=5（1+2¹+2²+…+2^n-1）-5n•2ⁿ，
即P_n=（5n-5）•2ⁿ+5（n∈N^*）．…（11分）
所以数列{n•a_n}的前n项和T_n=(5n-5)•2n+5-2×n(n+1)2，
整理得，T_n=（5n-5）•2ⁿ-n²-n+5（n∈N^*）．…（13分）

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且2an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。