数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n，2n，…，n-1n，…有

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n，2n，…，n-1n，…有如下运算和结论：
①a23=38；
②S11=316
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列
④数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为Tn=n2+n4；
⑤若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1＞10，则ak=57．
在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①前23项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16…18，28
∴a23=28，故不正确；
②由数列可知：前11项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16
∴s₁₁=12+13+23+14+24+34+15+25+35+45+16=316，故正确；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是12，1，64，2，n-12
由等差数列定义n-12-n-22=12（常数），所以是等差数列，故不正确．
④∵数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是12，1，64，2，…n-12．
由③知是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：Tn=n2+n4，故正确；
⑤由④知数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅，a₁₆+a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀+a₂₁，是12，1，64，2，52
，17+27+…+67
∴T₅=7.5＜10，T₆=10.5＞10，∴ak=57，正确．
故答案为：②④⑤

解析

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考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，若数列{a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。