已知数列{an}中，a1=2，a2=10，对任意n∈N*有an+2=2an+1+3an成立．若{an+1+λan}是等比数列，求λ的值；求数列{a

题文

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=10，对任意n∈N^*有a_n+2=2a_n+1+3a_n成立．
（I）若{a_n+1+λa_n}是等比数列，求λ的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）证明：1a1+1a2+1a3+…+1an＜23对任意n∈N^*成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设a_n+2+λa_n+1=μ（a_n+1+λa_n），则a_n+2=（μ-λ）a_n+1+λμa_n，
令μ-λ=2λμ=3，得μ=3λ=1或者μ=-1λ=-3，即λ=1或λ=-3；
（II）由（I）知 a_n+2+a_n+1=3（a_n+1+a_n），而a₂+a₁=12，
故a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•3^n-1=12•3^n-1=4•3ⁿ，①
同理a_n+2-3a_n+1=-（a_n+1-3a_n）有a_n+1-3a_n=（a₂-3a₁）•（-1）^n-1=4•（-1）^n-1，②
①-②得  4a_n=4•3ⁿ-4•（-1）^n-1，即a_n=3ⁿ+（-1）ⁿ．
（III）证明：当n=2k（k∈N^*）时，注意到3^2k+1-3^2k-1=2•3^2k-1＞0，于是1an+1an+1=1a2k+1a2k+1=132k+1+132k+1-1=32k+1+32k(32k+1)(32k+1-1)=32k+1+32k32k•32k+1+32k+1-32k-1＜32k+1+32k32k•32k+1=132k+132k+1．
显然当n=1时，不等式成立；对于n≥2，
当n为奇数时，1a1+1a2+1a3+…+1an=1a1+(1a2+1a3)+…+(1an-1+1an)=12+132+133+…+13n-1+13n=12+32×132(1-13n-1)=12+16(1-13n-1)＜12+16=23；
当n为偶数时，1a1+1a2+1a3+…+1an＜1a1+1a2+1a3+…+1an+1an+1=12+132+133+…+13n+13n+1=12+32×132(1-13n)=12+16(1-13n)＜12+16=23．
综上  对任意n∈N^*有1a1+1a2+1a3+…+1an＜23成立．

解析

μ-λ=2λμ=3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=2，a2=10.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。