已知{an}是等比数列，公比q＞1，前n项和为Sn，且S3a2=72，a4=4，数列bn满足：abn2n+1=2，n=1，2，…求数列{an}，{bn}的

题文

已知{a_n}是等比数列，公比q＞1，前n项和为Sn，且S3a 2=72，a4=4，数列bn满足：abn2n+1=2，n=1，2，…
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数数{b_nb_n+1}的前n项和为T_n，求证13≤Tn＜12(n∈N*)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）S3a2=a1+a1q+a1q2a1q=1+q+q2q=72，
∴整理得2q²-5q+2=0，解之得q=2（舍12）
由此可得a₁=a4q3=12，得数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=2^n-2，
∴a_2n+1=2^2n-1，结合a2n+1bn=2得b_n=log a2n+12=12n-1；
可得{b_n}的通项公式为b_n=12n-1；
（II）根据（I）的结论，得
b_nb_n+1=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1）
可得T_n=12[（1-13）+（13-15）+…+（12n-1-12n+1）]=12（1-12n+1）
∵n∈N^*，∴0＜12n+1≤13，得23≤1-12n+1＜1
因此，T_n=12（1-12n+1）∈[13，12），
即不等式13≤Tn＜12(n∈N*)成立．

解析

S3a2

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是等比数列，公比q＞1，前n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。