我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{an}、{bn}是两个等差数列，它们的前n项的和分别是Sn，Tn，则anbn=S2n-

题文

我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{a_n}、{b_n}是两个等差数列，它们的前n项的和分别是S_n，T_n，则anbn=S2n-1T2n-1
（1）请你证明上述命题；
（2）请你就数列{a_n}、{b_n}是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：
在等差数列{an}中，an=a1+a2n-12(n∈N*)那么对于等差数列{an}、{bn}有：anbn=12(a1+a2n-1)12(b1+b2n-1)=12(a1+a2n-1)(2n-1)12(b1+b2n-1)(2n-1)=S2n-1T2n-1
（2）猜想：数列{a_n}、{b_n}是两个各项均为正的等比数列，它们的前n项的积分别是Xn，Yn，则(anbn) 2n-1=X2n-1Y2n-1证明：在等比数列{an}中，an2=a1a2n-1=a2a2n-2=…(n∈N*)an2n-1=a1a2a3…a2n-1(n∈N*)那么对于等比数列{an}、{bn}有(anbn)2n-1=a1a2a3…a2n-1b1b2b3…b2n-1=X2n-1Y2n-1

解析

在等差数列{an}中，an=a1+a2n-12(n∈N*)那么对于等差数列{an}、{bn}有：anbn=12(a1+a2n-1)12(b1+b2n-1)=12(a1+a2n-1)(2n-1)12(b1+b2n-1)(2n-1)=S2n-1T2n-1

考点

据考高分专家说，试题“我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。