定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，点在函数f=2x2+2x的图

题文

定义：若数列{A_n}满足An+1=An2，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式．
（3）记bn=log2an+1Tn，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2011的n的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由条件得：an+1=2an2+2an，
∴2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2，
∴{2a_n+1}是“平方递推数列”．                          …（4分）
由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴lg(2an+1+1)lg(2an+1)=2，
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列． …（6分）
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴lg(2an+1)=lg5•2n-1，
∴2an+1=52n-1
∴an=12(52n-1-1)．                                   …（8分）
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=lg5•(1-2n)1-2=(2n-1)lg5，
∴Tn=52n-1．                                       …（10分）
（3）bn=lgTnlg(2an+1)=(2n-1)lg52n-1lg5=2n-12n-1=2-(12)n-1，…（12分）
∴Sn=2n-[1+12+(12)2+…+(12)n-1]=2n-1-(12)n1-12=2n-2[1-(12)n]
=2n-2+2(12)n．                          …（14分）
由S_n＞2011，得2n-2+2(12)n＞2011，n+(12)n＞1006+12，
当n≤1006时，n+(12)n＜1006+12，当n≥1007时，n+(12)n＞1006+12，
因此n的最小值为1007．                   …（16分）

解析

lg(2an+1+1)lg(2an+1)

考点

据考高分专家说，试题“定义：若数列{An}满足An+1=An2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。