在数列{an}中，a1=3，an=-an-1-2n+1．求a2，a3的值；证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公

题文

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=-a_n-1-2n+1（n≥2且n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=3，a_n=-a_n-1-2n+1（n≥2，n∈N^*），
∴a₂=-a₁-4+1=-6，a₃=-a₂-6+1=1．
（2）∵an+nan-1+(n-1)=(-an-1-2n+1)+nan-1+n-1=-an-1-n+1an-1+n-1=-1，
∴数列{a_n+n}是首项为a₁+1=4，公比为-1的等比数列．
∴a_n+n=4•（-1）^n-1，即a_n=4•（-1）^n-1-n，
∴{a_n}的通项公式为a_n=4•（-1）^n-1-n（n∈N^*）．
（3）∵{a_n}的通项公式为a_n=4•（-1）^n-1-n（n∈N^*），
所以S_n=n





k-1a_k=n





k-1[4•（-1）^k-1-k]=n





k-1[4•（-1）^k-1-n





k-1k
=4×1-(-1)n1-(-1)-n(n+1)2
=2[1-（-1）ⁿ]-12（n²+n）
=-n2+n-42-2（-1）ⁿ．

解析

an+nan-1+(n-1)

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=3，an=-an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。