已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an证明：数列{an+2}是等比数列．并求数列{an}的通项公式an；若数列{bn}满足bn=l

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n
（1）证明：数列{a_n+2}是等比数列．并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），设T_n是数列{bnan+2}的前n项和．求证：Tn＜32． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴an+2an-1+2=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）证明：由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，
得bnan+2=n+12n+1，
则Tn=222+323+…+n+12n+1，③
12Tn=223 +324+…+n2n+1+n+12n+2  ④
③-④，得12Tn=222+123+124+…+12n+1-n+12n+2
=14+14(1-12 n)1-12-n+12n+2
=14+12-12 n+1-n+12n+2
=34-n+32n+2，
所以 Tn=32-n+32n+1＜32．

解析

an+2an-1+2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。