已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=pan+n-1(n为奇数)-an-2n(n为偶数)．若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n

题文

已知数列{a_n}满足a₁=2，前n项和为S_n，an+1=pan+n-1(n为奇数)-an-2n(n为偶数)．
（Ⅰ）若数列{b_n}满足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），试求数列{b_n}前n项和T_n；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_2n，试判断c_n是否为等比数列，并说明理由；
（Ⅲ）当p=12时，问是否存在n∈N^*，使得（S_2n+1-10）c_2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）据题意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，所以{b_n}成等差数列，故T_n=-2n²-2n（4分）
（Ⅱ）当p=12时，数列{c_n}成等比数列；当p≠12时，数列{c_n}不为等比数列
理由如下：因为c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，
所以cn+1cn=-p+2n(1-2p)cn，故当p=12时，数列c_n是首项为1，公比为-12等比数列；
当p≠12时，数列{c_n}不成等比数列（9分）
（Ⅲ）当p=12
时，a2n=cn=(-12)n-1，a2n+1=bn-a2n=-4n-(-12)n-1（10分）
因为S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=-2n²-2n+2（n≥1）（12分）
∵（S_2n+1-10）c_2n=1，
∴4n²+4n+16=4ⁿ，设f（x）=4^x-4x²-4x-16（x≥2），
则g（x）=f'（x）=4^xln4-8x-4，
∴g'（x）=（ln4）²4^x-8＞0（x≥2），且g（2）=f'（2）＞0，
∴f（x）在[2，+∞）递增，且f（3）=0，f（1）≠0，
∴仅存在惟一的n=3使得（S_2n+1-10）c_2n=1成立（16分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=2，前n项和为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。