在等比数列{an}中，a2=14，a3•a6=1512．设bn=log2a2n2•log2a2n+12，Tn为数列{bn}的前n项和．求an和Tn；

题文

在等比数列{a_n}中，a2=14，a3•a6=1512．设bn=log2a2n2•log2a2n+12，T n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，不等式λTn＜n-2(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设{a_n}的公比为q，由a3a6=a22•q5=116q5=1512得q=12，
∴an=a2•qn-2=(12)n．----------------------------------（2分）
bn=log2a2n2•log2a2n+12=log(12)2n-12•log2n+1_(12)=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
∴Tn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1．----（5分）
（Ⅱ）①当n为偶数时，由λT_n＜n-2恒成立得，λ＜(n-2)(2n+1)n=2n-2n-3恒成立，
即λ＜(2n-2n-3)min，----------------------------------（6分）
而2n-2n-3随n的增大而增大，∴n=2时(2n-2n-3)min=0，
∴λ＜0；----------------------------------（8分）
②当n为奇数时，由λT_n＜n+2恒成立得，λ＜(n+2)(2n+1)n=2n+2n+5恒成立，
即λ＜(2n+2n+5)min，-----------------------------------（9分）
而2n+2n+5≥22n•2n+5=9，当且仅当2n=2n⇒n=1等号成立，
∴λ＜9．---------------------------------------（11分）
综上，实数λ的取值范围（-∞，0）．----------------------------------------（12分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，a2=14，a3•.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。