设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2．设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；求数列{an}

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，
得a₁+a₂=4a₁+2，a₂=3a₁+2=5，所以b₁=a₂-2a₁=3．
由S_n+1=4a_n+2，①
则当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2，②
①-②得a_n+1=4a_n-4a_n-1，所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1，所以{b_n}是以b₁=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（I）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，等式两边同时除以2ⁿ⁺¹，得an+12n+1-an2n=34．
所以数列{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列．
所以an2n=12+(n-1)34=34n-14，即a_n=（3n-1）•2^n-2（n∈N^*）．（13分）

解析

an+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。