设二次方程anx2-an+1x+1=0有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．试用an表示an+1；求证：数列{an-23}是等比数列

题文

设二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用a_n表示a_n+1；
（2）求证：数列{an-23}是等比数列；
（3）当a1=76时，求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由韦达定理得：α+β=an+1an，α•β=1an，
由6α-2αβ+6β=3得6•an+1an-2an=3，
故an+1=12an+13．．
（2）证明：因为an+1-23=12a_n-13=12（an-23），
所以an+1-23an-23=12，
故数列{an-23}是公比为12的等比数列；
（3）当a1=76时，数列{an-23}的首项a1-23=76-23=12，
故an-23=12•(12)n-1=(12)n，
于是．a_n=(12)n+23．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设二次方程anx2-an+1x+1=0（.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。