若数列{an}满足an=qn，以下命题正确的是{a2n}是等比数列；{1an}是等比数列；{lgan}是等差数列；

题文

若数列{a_n}满足a_n=qⁿ（q＞0，n∈N^*），以下命题正确的是（ ）
（1）{a_2n}是等比数列；
（2）{1an}是等比数列；
（3）{lga_n}是等差数列；
（4）{lga_n²}是等差数列．A．（1）（3）B．（3）（4）C．（1）（2）（3）（4）D．（2）（3）（4） 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a_n=qⁿ，∴an+1an=q，lgan+1an=lga_n+1-lga_n=lgq．
∴数列{a_n}为等比数列，{lga_n}是等差数列
∴{a_2n}，{1an}均是等比数列．
∴{lga_n²}也是等差数列．
故（1）（2）（3）（4）均正确．
故选C

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“若数列{an}满足an=qn（q＞0，n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。