设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积，则{An}为等比数列的充要条件是A．{an}是等比数列B．a

题文

设{a_n}是各项为正数的无穷数列，A_i是边长为a_i，a_i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A_n}为等比数列的充要条件是（ ）A．{a_n}是等比数列B．a₁，a₃，…，a_2n-1，…或a₂，a₄，…，a_2n，…是等比数列C．a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列D．a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比相同 题型：未知 难度：其他题型

答案

依题意可知A_i=a_i•a_i+1，
∴A_i+1=a_i+1•a_i+2，
若{A_n}为等比数列则Ai+1Ai=ai+2ai=q（q为常数），则a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比均为q；
反之要想{A_n}为等比数列则Ai+1Ai=ai+2ai需为常数，即需要a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比相等；
故{A_n}为等比数列的充要条件是a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比相同．
故选D

解析

Ai+1Ai

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。