已知三角形的三边构成等比数列，且它们的公比为q，则q的取值范围是A．(0，1+52)B．(1-52，1]C．[1，1+52)D．(-1+52，1+52)

题文

已知三角形的三边构成等比数列，且它们的公比为q，则q的取值范围是（ ）A．(0，1+52)B．(1-52，1]C．[1，1+52)D．(-1+52，1+52) 题型：未知 难度：其他题型

答案

设三边：a、qa、q²a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，即
（1）当q≥1时a+qa＞q²a，等价于解二次不等式：q²-q-1＜0，由于方程q²-q-1=0两根为：1-52和1+52，
故得1-52＜q＜1+52且q≥1，
即1≤q＜5+12
（2）当q＜1时，a为最大边，qa+q²a＞a即得q²+q-1＞0，解之得q＞5-12或q＜-1+52且q＞0
即q＞5-12
综合（1）（2），得：q∈（5-12，1+52）
故选D．

解析

1-52

考点

据考高分专家说，试题“已知三角形的三边构成等比数列，且它们的公.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。