一个直角三角形三边的长成等比数列，则A．三边边长之比为3：4：5B．三边边长之比为1：3：3C．较小锐角的正弦为5-12D．较大锐角的正弦为5-12

题文

一个直角三角形三边的长成等比数列，则（ ）A．三边边长之比为3：4：5B．三边边长之比为1：3：3C．较小锐角的正弦为5-12D．较大锐角的正弦为5-12 题型：未知 难度：其他题型

答案

设直角三角形较短的直角边为a（a＞0），公比为q，
由题意得：其它两边分别为aq，aq²，
根据勾股定理得：a²+（aq）²=（aq²）²，
整理得：q⁴-q²-1=0，
解得：q²=1+52或q²=1-52（舍去），
则q²的值为1+52，
∴三边长之比为a：aq：aq²=1：q：q²=1：1+52：1+52，
故选项A和B错误；
设最小内角为α，
根据正弦定理得：asinα=aq2sinπ2，即sinα=1q2=11+52=5-12，
则较小锐角的正弦值为5-12，故选项C正确，
又最大角为直角，其正弦值为1，故选项D错误，
故选C

解析

1+52

考点

据考高分专家说，试题“一个直角三角形三边的长成等比数列，则（ .....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。