已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn．a1=2，S3=14．求数列{an}的通项公式；设bn=n•an，求数列{bn}的前n项和Tn

题文

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n．a₁=2，S₃=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比是q，依题意 q＞0．                 
由S₃=14，得 a1(1+q+q2)=14，整理得 q²+q-6=0．                                             
解得 q=2，舍去q=-3．                                      
所以数列{a_n}的通项公式为an=a1•qn-1=2n．                        
（Ⅱ）由bn=n•an=n•2n，
得 Tn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
所以 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1．                      
两式相减，得Tn=-(2+22+23+…+2n)+n•2n+1=-2(1-2n)1-2+n•2n+1，
所以Tn=(n-1)2n+1+2．

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的各项均为正数，其前.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。