已知等差数列{an}中，a1=-1，前12项和S12=186．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足bn=(12)an，记数列{bn}的前n项

题文

已知等差数列{a_n}中，a₁=-1，前12项和S₁₂=186．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=(12)an，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n＜m对所有n∈N*恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=-1，S₁₂=186，
∴S12=12a1+12×112d，即186=-12+66d．∴d=3．
所以数列{a_n}的通项公式a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．
（Ⅱ）∵bn=(12)an，a_n=3n-4，∴bn=(12)3n-4．
∵当n≥2时，bnbn-1=(12)3=18，
∴数列f(1)=14，故k1=14．是等比数列，首项b1=(12)-1=2，公比q=18．
∴Tn=2[1-(18)n]1-18=167×[1-(18)n]．
∵167×[1-(18)n]＜167(n∈N*)，又不等式T_n＜m对n∈N*恒成立，
而1-(18)n单调递增，且当n→∞时，1-(18)n→1，
∴m≥167．

解析

12×112

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}中，a1=-1，前1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。