已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*．证明：{an-1}是等比数列；求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn+1＞S

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=-14；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-₁=-5a_n+5a_n-₁+1，
所以an-1=56(an-1-1)，
又a₁-1=-15≠0，所以数列{a_n-1}是等比数列；
（2）由（1）知：an-1=-15•(56)n-1，
得an=1-15•(56)n-1，
从而Sn=75•(56)n+n-90（n∈N^*）；
由S_n+₁＞S_n，得(56)n-1＜225，n＞log56225+1≈14.9，
最小正整数n=15．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。