已知函数f=2x+1，g=x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：a1=1，an=f=g，n∈N*．求证：数列{bn+

题文

已知函数f（x）=2x+1，g（x）=x，x∈R，数列{a_n}，{b_n}满足条件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1），n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n+1}为等比数列；
（2）令c_n=2nan•an+1，T_n是数列{c_n}的前n项和，求使T_n＞20112012成立的最小的n值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由题意，2b_n+1=b_n+1，
∴2（b_n+1）=b_n+1+1
∵a₁=2b₁+1=1，∴b₁=0，∴b₁+1=1≠0
∴数列{b_n+1}为首项是1，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，b_n+1=2^n-1，∴a_n=2b_n+1=2ⁿ-1
∴c_n=2nan•an+1=12n-1-12n+1-1
∴T_n=（1-13）+（13-17）+…+（12n-1-12n+1-1）=1-12n+1-1
∵T_n＞20112012，∴2ⁿ⁺¹＞2013，∴n≥10
∴使T_n＞20112012成立的最小的n值为10．

解析

2nan•an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+1，g（x）=x.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。