已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2求证：数列{an-2n}为等比数列；设bn=an•cosnπ，求数列{

题文

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n∈N^*）
（I）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（II）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵S_n=2a_n+n²-3n-2①∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2
两式相减，得a_n+1=2a_n+1-2a_n+2n-2，∴a_n+1=2a_n-2n+2
故a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），又在①式中令n=1得a₁=4，∴a₁-2≠0∴an+1-2(n+1)an-2n=2，
∴{a_n-2n}为等比数列                  
（II）由（I）知：a_n-2n=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+2n且cosnπ=（-1）ⁿ
当n为偶数时，设n=2k（k∈N^*）
则P_n=b₁+b₂+…+b_n=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）={-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^2k-1+2（2k-1）]}+[（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2^2k+2k）]=-（2+2³+…+2^2k-1）-2[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）+2（2+4+…+2k）=-（2-2²+2³-2⁴+…+2^2k-1-2^2k）+2[-1+2-3+4-…-（2k-1）+2k]=-2[1-(-2)2k]1-(-2)+2k=23(2n-1)+n
当n为奇数时，设n=2k-1（k∈N^*），同理可得Pn=-2(2k-1)+1+23-[(2k-1)+1]=-2n+1+23-(n+1)=-2n+13-n-53
综上所述，Pn=-2n+13-n-53，n为奇数23(2n-1)+n，n为偶数

解析

an+1-2(n+1)an-2n

考点

据考高分专家说，试题“已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。