已知数列{xn}的前n项和为Sn，若点Pn都在斜率为k的同一条直线上求证：{xn}是等比数列；设数

题文

已知数列{x_n}的前n项和为S_n，若点P_n（x_n，S_n）（n=1，2，…）都在斜率为k的同一条直线上（常数k≠0，1）
（1）求证：{x_n}是等比数列；
（2）设数列{x_n}的公比为f（k），b_n=-f（b_n-1），b₁=-1，C_n=b_nb_n+1，求C₁+C₂+…+C_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn+1-Snxn+1-xn=xn+1xn+1-xn=k，∴xn+1xn=kk-1∴{x_n}成G．P；
（2）∵f(k)=kk-1，∴bn=-bn-1bn-1-1从而b_nb_n-1=b_n-b_n-1，即1bn-1bn-1=-1(n≥2)∴bn=-1n，∴Cn=1n(n+1)=1n-1n+1，∴∑Ck=1-1n+1=nn+1

解析

Sn+1-Snxn+1-xn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{xn}的前n项和为Sn，若点P.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。