现有甲、乙两个容器，分别盛有浓度为10%、20%的某种饮料各500ml．实验人员对它们进行调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，分

题文

现有甲、乙两个容器，分别盛有浓度为10%、20%的某种饮料各500ml．实验人员对它们进行调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100ml溶液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；…依照上述操作程序反复进行调和试验，记第n-1（n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度分别为a_n和b_n．
（1）试写出a₁和b₁的值．（2）依据调和程序，试用n表示甲、乙两个容器中两种饮料的浓度的差b_n-a_n．（3）试求出第n-1（n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度a_n、b_n关于n的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题设，a₁=10%，b₁=20%．
（Ⅱ）∵a_n=400an-1+100bn-1500=45a_n-1+15b_n-1，
b_n=400bn-1+100an-1500=45b_n-1+15a_n-1．
∴b_n-a_n=（45b_n-1+15a_n-1）-（45a_n-1+15b_n-1）=35（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．
可知数列{b_n-a_n}为首项是b₁-a₁=10%，公比为35的等比数列，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）(35)n-1=10%(35)n-1=110•(35)n-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）b_n-a_n=110•(35)n-1①
又a_n+b_n=a_n-1+b_n-1═a₁+b₁=30%=310②
联立①②得a_n=320-120•(35)n-1，b_n=320+120•(35)n-1．

解析

400an-1+100bn-1500

考点

据考高分专家说，试题“现有甲、乙两个容器，分别盛有浓度为10%.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。