已知数列{an}满足，a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N×．令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；求{an}的通项公

题文

已知数列{a_n}满足，a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N^×．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证b₁=a₂-a₁=1，
当n≥2时，bn=an+1-an=an-1+an2-an=-12(an-an-1)=-12bn-1，
所以{b_n}是以1为首项，-12为公比的等比数列．
（2）解由（1）知bn=an+1-an=(-12)n-1，
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=1+1+（-12）+…+(-12)n-2
=1+1-(-12)n-11-(-12)=1+23[1-(-12)n-2]=53-23(-12)n-1，
当n=1时，53-23(-12)1-1=1=a1．
所以an=53-23(-12)n-1(n∈N*)．

解析

an-1+an2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足，a1=1，a2=2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。