已知曲线C：xy=1，过C上一点An作一斜率为kn=-1xn+2的直线交曲线C于另一点An+1，点列An（n=1，2，3，…

题文

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为kn=-1xn+2的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列A_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x_n}，其中x1=117．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）求证：{1xn-2+13}是等比数列；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）过C：y=1x上一点A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线交C于另一点A_n+1，
则kn=yn+1-ynxn+1-xn=1xn+1-1xnxn+1-xn=-1xn+1•xn=-1xn+2，
于是有：x_nx_n+1=x_n+2
即：xn+1=1+2xn．
（2）记an=1xn-2+13，
则an+1=1xn+1-2+13=1xn+2xn-2+13=-2(1xn-2+13)=-2an，
因为x1=117 ， 而a1=1x1-2+13=-2≠0，
因此数列{1xn-2+13}是等比数列．
（3）由（2）知：an=(-2)n ， 则xn=2+1(-2)n-13，(-1)nxn=(-1)n•2+12n-(-1)n•13．
①当n为偶数时有：（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=
=12n-1+13+12n-13=2n-1+2n(2n-1+13)(2n-13)＜2n-1+2n2n-1•2n＜12n-1+12n，
于是在n为偶数时有：(-1)x1+(-1)2x2++(-1)nxn＜12+122+123+124++12n＜1．
1在n为奇数时，前n-1项为偶数项，
于是有：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜1+(-1)nxn=1-xn=1-(2+1(-2)n-13)=-1+12n+13＜1．
综合①②可知原不等式得证．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知曲线C：xy=1，过C上一点An（x.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。