已知数列{an}满足a1=2，an+1=22•an．求证数列{ann2}是等比数列，并求其通项公式；设bn=ann，求数列{bn}的前n

题文

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（1+1n）²•a_n．
（1）求证数列{ann2}是等比数列，并求其通项公式；
（2）设b n=ann，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设C_n=nan，求证：c1+c2+c3+…+cn＜710． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1=2（1+1n）²•a_n，
∴an+1(n+1)2=2•ann2
∵a₁=2，∴{ann2}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴ann2=2n
∴a_n=n²•2ⁿ；  
（2） bn=ann=n•2ⁿ
∴S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得-S_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹；
（3）证明：c_n=nan=1n•2n＞0，
设T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，则T₁＜T₂＜T₃＜T₄，
当n≥4时，T_n=11•2+12•22+…+1n•2n＜12+18+14(124+…+12n)=23+14•123-14•(12)n＜23+14•123＜23+130=710
综上：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜710

解析

1n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=2，an+1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。