已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an+n-4求证：数列{an-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；设cn=anlog

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n+n-4（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nlog₂（a_n-1），求数列{c_n}的前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=2a_n+n-4，∴S_n-1=2a_n-1+（n-1）-4
∴a_n=2a_n-2a_n-1+1，从而a_n=2a_n-1-1即a_n-1=2（a_n-1-1）
∴数列{a_n-1}为等比数列
又a₁=S₁=2a₁-3，故a₁=3
因此an-1=(a1-1)×2n-1=2n
∴an=2n+1
（2）由（1）可得Cn=(2n+1)n=n•2n+n
记An=1×2+2×22+3×23+…+n•2n
∴2An=1×22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1
两式相减可得：-An=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=2(1-2n)1-2-n•2n+1=-2+(1-n)•2n+1
∴An=(n-1)•2n+1+2
∴Tn=(n-1)•2n+1+2+n(n+1)2

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。