已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=bn+r求r的值；当b=2时，记bn=n+14an，求

题文

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=bⁿ+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）
（1）求r的值；      
（2）当b=2时，记bn=n+14an（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项的和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为Sn=bn+r，当n=1时，a₁=S₁=b+r，（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r）
=bⁿ-b^n-1
=（b-1）•b^n-1，（3分）
又∵{a_n}为等比数列，
∴a1=(b-1)•b0=b-1=b+r，
∴r=-1．（4分）
（2）证明：由（1）得等比数列{a_n}的首项为b-1，公比为b，
∴a_n=（b-1）•b^n-1，（5分）
当b=2时，an=(b-1)•bn-1=2^n-1，
b_n=n+14an=n+14×2n-1=n+12n+1，（6分）
设T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
则T_n=222+323+424+…+n+12n+1，
12Tn=223+324+425+…+n2n+1+n+12n+2，（7分）
两式相减，得12Tn=222+123+124+125+…+12n+1-n+12n+2
=12+123×(1-12n-1)1-12-n+12n+2=34-12n+1-n+12n+2，（9分）
所以Tn=32-12n-n+12n+1=32-n+32n+1．（10分）

解析

n+14an

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。