设等比数列z1，z2，z3，…，zn，其中z1=1，z2=a+bi，z3=b+ai．求a，b的值．求使z1+z2+…+zn=0

题文

设等比数列z₁，z₂，z₃，…，z_n，其中z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai（a，b∈R，a＞0）．
（1）求a，b的值．（2）求使z₁+z₂+…+z_n=0的最小正整数n的值．（参考数据：14-3i） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由z₂²=z₁•z₃，得（a+bi）²=1×（b+ai），a²-b²+2abi=b+ai，
∴a2-b2=b2ab=a，又a＞0，得b=12，于是a=32．
∴a=32，b=12．
（2）由（1）得q=32+12i，而z₁+z₂+…+z_n=0，
∴q=z2z1=32+12i
sn=1×[1-(3+i2)n]1-(32+12i)=0∴(3+i2)n=1∴(-i)n•(-1+3i2)n=1
又(-1+3i2)3=1，且（-i）⁴=1，∴n_min=12．

解析

a2-b2=b2ab=a

考点

据考高分专家说，试题“设等比数列z1，z2，z3，…，zn，其.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。