已知数列{an}中，a1=-1，an+1=2an+3．若bn=an+3，证明{bn}是等比数列；求数列{an}的通项公式；若cn=nbn，求数

题文

已知数列{a_n}中，a₁=-1，a_n+1=2a_n+3．
（1）若b_n=a_n+3，证明{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵a₁=-1，a_n+1=2a_n+3
∴a_n+1+3=2（a_n+3），a₁+3=2
∴b_n+1=2b_n
∴数列{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列
（2）由（1）可得，b_n=an+3=2n
∴an=2n-3
（3）∵c_n=nb_n=n•2ⁿ
∴s_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=2(1-2n)1-2-n•2n+1
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴s_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=-1，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。