数列{an}的前n项和Sn，当n≥1时，Sn+1是an+1与Sn+1+k的等比中项．求证：对于n≥1有1Sn-1Sn+1=1k；设a1=-

题文

数列{a_n}的前n项和S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+k的等比中项（k≠0）．
（1）求证：对于n≥1有1Sn-1Sn+1=1k；
（2）设a1=-k2，求S_n；
（3）对n≥1，试证明：S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1＜k22. 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）由S_n+1²=a_n+1•（S_n+1+k）而a_n+1=S_n+1-S_n
∴S_n+1²=（S_n+1-S_n）（S_n+1+k）
∴-S_n+1S_n+k（S_n+1-S_n）=0
等式两边同除Sn+1Sn得：-1+k(1Sn-1Sn+1)=0
∴1Sn-1Sn+1=1k；（4分）
（2）由（1）知：{1Sn}是以-2k为首项，
以-1k为公差的等差数列，
∴1Sn=-n+1k
∴Sn=-kn+1；（8分）
（3）S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1
=k22•3+k23•4++k2(n+1)(n+2)
=k2[(12-13)+(13-14)++(1n+1-1n+2)]
=k2(12-1n+2)＜k22．（12分）

解析

1Sn

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和Sn，当n≥1时，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。