数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an-3n，．证明：{an+3}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；令bn=(2n-1)

题文

数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-3n，（n∈N^*）．
（1）证明：{a_n+3}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=(2n-1)．an3，求数列{b_n}的前n项和H_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）当n≥2时由S_n=2a_n-3n得S_n-1=2a_n-1-3（n-1），
两式相减得S_n-S_n-1=a_n=（2a_n-3n）-[2a_n-1-3（n-1）]，
整理得a_n=2a_n-1+3     …（2分）
∴an+3an-1+3=2an-1+3+3an-1+3=2                          …（4分）
由S₁=2a₁-3得a₁=3，
∴a₁+3=6
∴{a_n+3}是以6为首项、2为公比的等比数列           …（5分）
∴a_n+3=6.2^n-1，
∴a_n=3.2ⁿ-3                       …（6分）
（2）∵b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）
设T_n=1.2¹+3.2²+5.2³+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ                 ①
2T_n=1.2²+3.2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹     ②
由①-②得：-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）2ⁿ⁺¹，…（7分）
=2+8(1-2n-1)1-2-（2n-1）.2ⁿ⁺¹       …（9分）
化简得 T_n=（2n-3）.2ⁿ⁺¹+6．                       …（11分）
∴H_n=T_n-[1+3+…+（2n-1）]=（2n-3）.2ⁿ⁺¹+6-n²        …（14分）

解析

an+3an-1+3

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。