设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，，3tSn-Sn-1=3t．求证：{an}为等比数列；设{a

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t为正常数，n=2，3，4…）．
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）设{a_n}公比为f（t），作数列b_n使b1=1，bn=f(1bn-1)(n≥2)，试求b_n，并求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵a₁=1，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n≥2，n∈N^*）①
∴3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n≥3，n∈N*）②
①②两式相减得
3tan-(2t+3)an-1=0∴anan-1=2t+33t(n≥3，t为正常数)
又n=2时，
3t(1+a2)-(2t+3)•1=3t∴a2=2t+33t∴a2a1=2t+33t
∴a_n是以1为首项，2t+33t为公比的等比数列．
（2）∵f(t)=2t+33t=2+3t3，∴bn=2+3bn-13，∴bn-bn-1=23(n≥2)
∴b_n是以1为首项，23为公差的等差数列，∴bn=2n+13
∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₄）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-43(b2+b4+b2n)=-43n(53+4n+13)2=-8n2-12n9．

解析

3tan-(2t+3)an-1=0∴anan-1=2t+33t(n≥3，t为正常数)

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。