数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n．设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数n都有S_n=2a_n-3n．
（1）设b_n=a_n+3，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=2a_n-3n，对于任意的正整数都成立，
∴S_n+1=2a_n+1-3n-3，
两式相减，得a _n+1=2a_n+1-2a_n-3，即a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
所以数列{b_n}是以2为公比的等比数列，
由已知条件得：S₁=2a₁-3，a₁=3．
∴首项b₁=a₁+3=6，公比q=2，
∴a_n=6•2^n-1-3=3•2ⁿ-3．
（2）∵na_n=3×n•2ⁿ-3n
∴S_n=3（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ）-3（1+2+3+…+n），
2S_n=3（1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹）-6（1+2+3+…+n），
∴-S_n=3（2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）+3（1+2+3+…+n）
=3×2(2n-1)2-1-6n•2n+3n(n+1)2
∴S_n=(6n-6)•2n+6-3n(n+1)2

解析

2(2n-1)2-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。