已知数列{an}满足：a1=1，an+1=12an+n(n为奇数)an-2n(n为偶数)求a2，a3，a4，a5；设bn=a2n+1+4n-2，n∈

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=12an+n(n为奇数)an-2n(n为偶数)
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）设b_n=a_2n+1+4n-2，n∈N^*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3） 求数列{a_n}前100项中的所有奇数项的和S． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a2=32，a3=-52，a4=74，a5=-254
（2）b_n+1=a_2n+3+4（n+1）-2=a_2n+2-2（2n+2）+4（n+1）-2
=a2n+2-2=12 a2n+1+(2n+1)-2= 12bn
∴数列{b_n}是公比为12的等比数列．
又∵b1=a3+4-2=-12，∴bn=-(12)n
（3）由（2）得a2n+1=-(12)n-4n+2
∴s=a₁+a₃+…+a₉₉=1-[12+(12)2+(12)3+…+(12)49]-4（1+2+…+49）+2×49
=(12)49-4802

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=1，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。