公差不为0的等差数列{an}中，a1=2，a2是a1与a4的等比中项．求数列{an}的公差d；记数列{an}的前20项中的偶数项和为S，即S=a2

题文

公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁=2，a₂是a₁与a₄的等比中项．
（I）求数列{a_n}的公差d；
（II）记数列{a_n}的前20项中的偶数项和为S，即S=a₂+a₄+a₆+…+a₂₀，求S． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）在等差数列中，a₁=2，a₂是a₁与a₄的等比中项．所以a1a4=a22，
即a1(a1+3d)=(a1+d)2，所以2（2+3d）=（2+d）²，
解的d²=2d，
因为公差不为0，所以d=2．
（II）由（I）知，数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n，
所以数列{a_n}的前20项中的偶数项也构成等差数列，
首项为a₂=a₁+d=2+2=4，公差为a₄-a₂=2d=4，
所以S=a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=10×4+10×92×4=220．

解析

a22

考点

据考高分专家说，试题“公差不为0的等差数列{an}中，a1=2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。