已知数列{an}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{bn}满足2bn=an；若a1、a3、a4成等比数列，求数列{an}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}是首项a₁=a，公差为2的等差数列，数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n；
（Ⅰ）若a₁、a₃、a₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为a₁、a₃、a₄成等比数列，
所以a₁•a₄=a₃²，
即a•（a+6）=（a+4）²，∴a=-8，
∴a_n=-8+（n-1）×2=2n-10，
（II）由2b_n=（n+1）a_n，
b_n=n²+a2n+a-22=（n+a4）²-（a-44）²，
由题意得：92≤-a4≤112，
∴-22≤a≤-18．

解析

a2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项a1=a，公差为2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。