已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn．求a1，a2；求通项公式an；求证数列{Sn-1}为等比数列．

题文

已知数列{a_n}前n项和S_n满足a_n=2-2S_n．
（I）求a₁，a₂；
（II）求通项公式a_n；
（III）求证数列{S_n-1}为等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I） 在a_n=2-2S_n
取n=1，则a₁=2-2S₁=2-2a₁∴a₁=23
取n=2，则a₂=2-2S₂=2-2（a₁+a₂）=2-2（23+a₂）∴a₂=29．（2分）
（II）∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
∴a_n-a_n-1=（2-2S_n）-（2-2S_n-1）=-2（S_n-S_n-1）=-2a_n
∴a_n=13a_n-1，n≥2   又a₁=23
∴a_n≠0，n∈N*
∴anan-1=13
∴{a_n}为等比数列，且公比为13
∴a_n=23×（13）^n-1=23n，n∈N*．（4分）
（III）  当n≥2时，2-2S_n=a_n=S_n-S_n-1  即：3S_n=2+S_n-1
∴3（S_n-1）=S_n-1-1  又S₁-1=a₁-1=-13≠0
∴S_n-1≠0，n∈N*
∴Sn-1Sn-1-1=13为常数
∴数列{S_n-1}为等比数列．（7分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}前n项和Sn满足an=2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。