已知数列{an}满足a1=1，an+1=116(1+4an+1+24an)．设bn=1+24an，求证：{bn-3}成等比数列；求数列{

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，an+1=116(1+4an+1+24an)（n∈N^*）．
（1）设bn=1+24an，求证：{b_n-3}成等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由bn=1+24an，得an=b2n-124，
代入an+1=116(1+4an+1+24an)，
得b2n+1-124=116(1+4×b2n-124+bn)⇒4b2n+1=(bn+3)2，
∴2b_n+1=b_n+3．…（5分）
∴2（b_n+1-3）=b_n-3，又b1=1+24×1=5，则b₁-3=2≠0．…（7分）
∴{b_n-3}是以2为首项，12为公比的等比数列．…（8分）
（2）由（1）得bn-3=12n-2，∴bn=12n-2+3，…（10分）
则an=b2n-124=23×14n+12n+2+13．…（13分）

解析

1+24an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，an+1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。