为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修人数为an个，且第n次选课时，

题文

为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修人数为a_n个，且第n（n≥2）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第n-1次选修人数的一半还多15人．
（1）当a₁≠30时，写出数列{a_n}的一个递推公式，并证明数列{a_n-30}是一个等比数列；
（2）求出用a₁和n表示的数列{a_n}的通项公式．如果选《趣味数学》的学生越来越多，求a₁的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，有an=12an-1+15，（其中n≥2）；
∴an-30=12(an-1-30)，
又a₁≠30，即a₁-30≠0，
故{a_n-30}是一个以（a₁-30）为首项，12为公比的等比数列．
（2）由（1）得：an-30=(a1-30)•(12)n-1；
∴an=30+(a1-30)•(12)n-1，
又an-an-1=(a1-30)[(12)n-1-(12)n-2]=(30-a1)•(12)n-1＞0．
∴a₁的取值范围是：0≤a₁＜30．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“为了适应新课改的要求，某重点高中在高一5.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。