已知等差数列{an}的公差为d，a3=5，a5=9，等比数列{bn}的公比为q，b1=1，b4=27，设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，Tn=

题文

已知等差数列{a_n}的公差为d，a₃=5，a₅=9，等比数列{b_n}的公比为q，b₁=1，b₄=27，设S_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，T_n=a₁b₁-a₂b₂+a3b3-…+(-1)n-1anbn（n∈N₊）．
（1）求S₃和T₃的值；
（2）设f（n）=（1-q）S_2n-（1+q）T_2n，求f（n）的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₅=a₃+2d，a₃=5，a₅=9，∴9=5+2d，解得d=2，∴a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）×2=2n-1，∴S₃=1×1+3×3+5×9=55；
∵b4=b1q3，b₁=1，b₄=27，∴27=q³，解得q=3，∴bn=3n-1，∴T₃=1×1-3×3+5×3²=37．
（2）①∵S_n=1×1+3×3¹+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1，
3S_n=1×3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
∴-2S_n=1+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）•3ⁿ=1+2×3×(3n-1-1)3-1-（2n-1）•3ⁿ，
得S_n=-12-3n-32+(2n-1)•3n2=（n-1）•3ⁿ+1，
∴S_2n=（2n-1）•3²ⁿ+1．
②T_2n=1×1-3×3+5×3²-7×3³+…+（4n-3）•3^2n-2-（4n-1）•3^2n-1
=-8-16×3²-…-8n•3^2n-2
=-8（1×3⁰+2×3²+3×3⁴+…+n•3^2n-2）
=-8•(32n-1-16+n•32n8)
=32n-12-n•32n．
∴f（n）=（1-3）•[（2n-1）•3²ⁿ+1]-4×(32n-12-n•32n)=（2-4n）•3²ⁿ+2-4n-2•3²ⁿ+2+4n•3²ⁿ=4

解析

3×(3n-1-1)3-1

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差为d，a3=5.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。