已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=an+1-3n-1，n∈N*．证明：数列an+3是等比数列；对k∈N*，设f(n)=Sn-an+3nn

题文

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=a_n+1-3n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列a_n+3是等比数列；
（Ⅱ）对k∈N^*，设f(n)=Sn-an+3n  n=2k-1 log2(an+3)  n=2k.求使不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立的正整数m的取值范围．． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由S_n=a&_n+1-3n-1，则S_n-1=a_n-3（n-1）-1，n≥2．
两式相减得a_n+1=2a_n+3，n≥2．
即an+1+3an+3=2，  n≥2．（2分）
又n=1时，a2=5，  a2+3a1+3=2．
∴数列a_n+3是首项为4，公比为2的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（I）知a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，S_n=a_n+1-3n-1=2ⁿ⁺²-3n-4．
∴f(n)=2n+1-1  n=2k-1  n+1  n=2k.（5分）
①当m为偶数时，cos（mπ）=1，f（2m²）=2m²+1，f（m）=m+1，
∴原不等式可化为（2m²+1）-（m+1）≤0，
即2m²-m≤0．
故不存在合条件的m．（7分）
②当m为奇数时，cos（mπ）=-1，f（2m²）=2m²+1，f（m）=2^m+1-1．
原不等式可化为2m²+1≥2^m+1-1．
当m=1或3时，不等式成立．（9分）
当m≥5时，2^m+1-1=2（1+1）^m-1=2（C_m⁰+C_m¹+C_m²++C_m^m-2+C_m^m-1+C_m^m）-1≥2m²+2m+3＞2m²+1．
∴m≥5时，原不等式无解．（11分）
综合得：当m∈{1，3}时，不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立．（12分）

解析

an+1+3an+3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。