定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，且an+1=2an2+2an，其中n为正整数．

题文

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=2a_n²+2a_n，其中n为正整数．
（1）设b_n=2a_n+1，证明：数列{b_n}是“平方递推数列”，且数列{lgb_n}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”{b_n}的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式；
（3）记c_n=logTn2an+1，求数列{c_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2008的n的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由条件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴{b_n}是“平方递推数列”．∴lgb_n+1=2lgb_n．∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，∴lg(2an+1+1)lg(2an+1)=2．
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴lg（2a_n+1）=2^n-1⋅lg5，∴2a_n+1=52n-1，∴a_n=12（52n-1-1）．
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=(1-2n)lg51-2=（2ⁿ-1）lg5．
∴T_n=5^2n-1．
（3）c_n=lgTnlg(2an+1)=(2n-1)lg52n-1lg5=2n-12n-1=2-(12)n-1，
∴S_n=2n-[1+12+(12)2++(12)n-1]=2n-1-(12)n1-12=2n-2[1-(12)n]=2n-2+2(12)n．
由S_n＞2008得2n-2+2(12)n＞2008，n+(12)n＞1005，
当n≤1004时，n+(12)n＜1005，当n≥1005时，n+(12)n＞1005，∴n的最小值为1005．

解析

lg(2an+1+1)lg(2an+1)

考点

据考高分专家说，试题“定义：若数列{An}满足An+1=An2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。