在数列{an}中，已知a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N•．设bn=an-n，求证：数列{bn}是等比数列；求数列{an}的前n项和Sn．

题文

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^•．
（1）设b_n=a_n-n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵bn+1bn=an+1-(n+1)an-n=4an-3n+1-(n+1)an-n=4(an-n)an-n=4，（5分）
且b₁=a₁-1=1∴b_n为以1为首项，以4为公比的等比数列，（7分）
（2）由（1）得b_n=b₁q^n-1=4^n-1（8分）∵a_n=b_n+n=4^n-1+n，（9分）
∴Sn=(40+41+42++4n-1)+(1+2+3++n)
=1-4n1-4+n(n+1)2=4n-13+n(n+1)2，（12分）

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，已知a1=2，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。