已知抛物线y2=4x，过点M的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C．若以A，B为直径的圆经过坐标原点，求此时的直线l的方程；（2

题文

已知抛物线y²=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C．
（1）若以A，B为直径的圆经过坐标原点，求此时的直线l的方程；
（2）求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（3）设MA=αAC，MB=βBC，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设l的方程为y=kx+2（k≠0）与抛物线y²=4x联立，可得k²x²+（4k-4）x+4=0
由△＞0，k≠0，可得k＜12且k≠0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-4k-4k2①，x1x2=4k2②
∵以A，B为直径的圆经过坐标原点，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0
∴4+8kk2=0
∴k=-12
∴此时的直线l的方程为x+2y-4=0；
（2）证明：∵|MA||MB|=1+k2|x1-0|•1+k2|x2-0|=4(1+k2)k2
|MC|2=(1+k2|-2k-0|)2=4(1+k2)k2
∴|MC|²=|MA||MB|≠0
∴|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（3）由MA=αAC，MB=βBC，得α=-kx1kx1+2，β=-kx2kx2+2
∴α+β=-2k2x1x2-2k(x1+x2)k2x1x2+2k(x1+x2)+4
把①②代入，可得α+β=-1，即α+β为定值-1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。