已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，若数列{Sn+1}是公比为4的等比数列．求数列{an}的通项公式an；设bn=an+1(an+1-3)•

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，若数列{S_n+1}是公比为4的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设bn=an+1(an+1-3)•Sn+1，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）S_n+1=（S₁+1）•4^n-1=4ⁿ，∴S_n=4ⁿ-1，
    当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3•4^n-1，且 a₁=3，∴a_n=3•4^n-1，
    所以数列{a_n}的通项公式为a_n=3•4^n-1．…（7分）
（Ⅱ）bn=an+1(an+1-3)•Sn+1=4n(4n-1)(4n+1-1)=13(14n-1-14n+1-1)，Tn=b1+b2+…+bn=13(141-1-142-1)+13(142-1-143-1)+…+13(14n-1-14n+1-1)
=13(141-1-14n+1-1)=19-13(4n+1-1)．…（12分）

解析

an+1(an+1-3)•Sn+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。