设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2tan-t-1．求证：数列{an}为等比数列；若数列{an}

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（t-1）S_n=2ta_n-t-1（其中t为常数，t＞0，且t≠1）．
（I）求证：数列{a_n}为等比数列；
（II）若数列{a_n}的公比q=f（t），数列{b_n}满足b₁=a₁，bn+1=12f（b_n），求数列{1bn}的通项公式；
（III）设t=13，对（II）中的数列{a_n}，在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1之间插入k个(-1)kbk（k∈N^*）后，得到一个新的数列：a₁，(-1)1b1，a₂，(-1)2b2，(-1)2b2，a₃，(-1)3b3，(-1)3b3，(-1)3b3，a₄…，记此数列为{c_n}．求数列{c_n}的前50项之和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：由题设知（t-1）S₁=2ta₁-t-1，解得a₁=1，
由（t-1）S_n=2ta_n-t-1，得（t-1）S_n+1=2ta_n+1-t-1，
两式相减得（t-1）a_n+1=2ta_n+1-2ta_n，
∴an+1an=2tt+1（常数）．
∴数列{a_n}是以1为首项，2tt+1为公比的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）∵q=f （t）=2tt+1，b₁=a₁=1，b_n+1=12f （b_n）=bnbn+1，
∴1bn+1=bn+1bn=1bn+1，
∴数列{1bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴1bn=n．…（8分）
（III）当t=13时，由（I）知a_n=(12)n-1，于是数列{c_n}为：1，-1，12，2，2，(12)2，-3，-3，-3，(12)3，…
设数列{a_n}的第k项是数列{c_n}的第m_k项，即a_k=cmk，
当k≥2时，m_k=k+[1+2+3+…+（k-1）]=k(k+1)2，
∴m₉=9×102-45．
设S_n表示数列{c_n}的前n项和，则S₄₅=[1+12+(12)2+…+(12)8]+[-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8]．
∵1+12+(12)2+…+(12)8=1-(12)91-12=2-128，
-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8=-1+2²-3²+4²-5²+6²-7²+8²
=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）=3+7+11+15=36．
∴S₄₅=2-128+36=38-128．
∴S₅₀=S₄₅+（c₄₆+c₄₇+c₄₈+c₄₉+c₅₀）=38-128+5×（-1）⁹×9=-71256．
即数列{c_n}的前50项之和为-71256．…（12分）

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且（t-.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。