在数列{an}中，a1=1，an+1=an+c，且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．求c的值；设bn=1anan+1，求

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）设bn=1anan+1，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1=a_n+c
∴a_n+1-a_n=c
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，以c为公差的等差数列
a₂=1+c，a₅=1+4c
又a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列
∴（1+c）²=1+4c
解得c=2或c=0（舍）
（2）由（1）知，a_n=2n-1
∴bn=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
∴Sn=12[(1- 13)+(13 -15)+…+(12n-1-12n+1)]=12(1-12n+1)=n2n+1

解析

1(2n-1)(2n+1)

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，an+1=a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。