设数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，对于任意正整数m，n，Sm+n=2a2m(1+S2n)-1恒成立．若a1=1，求a2，a3，a4及数列{

题文

设数列{a_n}的各项均为正数，其前n项的和为S_n，对于任意正整数m，n，Sm+n=2a2m(1+S2n)-1恒成立．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄及数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₄=a₂（a₁+a₂+1），求证：数列{a_n}成等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）由Sm+n=2a2m(1+S2n)-1得1+Sm+n=2a2m(1+S2n)．
令m=1，得1+Sn+1=2a2(1+S2n)①
令m=2，得1+Sn+2=2a4(1+S2n)②
②÷①得：1+Sn+21+Sn+1=a4a2 （n∈N^*）．记a4a2=q，
则数列{1+S_n} （n≥2，n∈N^*）是公比为q的等比数列．
∴1+Sn=(1+S2)qn-2 （n≥2，n∈N^*）③．
n≥3时，1+Sn-1=(1+S2)qn-3④．
③-④得，an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N^*）．
在1+Sm+n=2a2m(1+S2n)中，令m=n=1，得1+S2=2a2(1+S2)．
∴(1+S2)2=2a2(1+S2)．
则1+S₂=2a₂，∴a₂=1+a₁．
∵a₁=1，∴a₂=2．
在1+Sm+n=2a2m(1+S2n)中，令m=1，n=2，得1+S3=2a2(1+S4)．
则(4+a3)2=4(4+a3+a4)⑤
在1+Sm+n=2a2m(1+S2n)中，令m=2，n=1，得1+S3=2a4(1+S2)
则(4+a3)2=8a4⑥．
由⑤，⑥，解得a₃=4，a₄=8．
则q=2，由an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N^*），
得：an=4×2n-3(2-1)=2n-1
∵a₁=1，a₂=2也适合上式，∴an=2n-1．
（2）在1+Sm+n=2a2m(1+S2n)中，令m=2，n=2，得1+S4=2a4(1+S4)
则1+S₄=2a₄，∴1+S₃=a₄．
在1+Sm+n=2a2m(1+S2n)中，令m=1，n=2，得1+S3=2a2(1+S4)．
则1+S3=2a2(1+S3+a4)，∴a4=2a2×2a4．
则a₄=4a₂，∴q=a4a2=2．
代入an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N^*），
得an=(1+S2)2n-3 （n≥3，n∈N^*）．
由条件a₄=a₂（a₁+a₂+1），得a₁+a₂+1=4．
∵a₂=a₁+1，a₁=1，∴a₂=2．
则an=4×2n-3=2n-1
∵a₁=1，a₂=2上式也成立，
∴an=2n-1 （n∈N*）．
故数列{a_n}成等比数列．

解析

2a2m(1+S2n)

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的各项均为正数，其前n项的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。