已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，2an+1+3Sn=3n+4．求证：数列{an-1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，2a_n+1+3S_n=3n+4（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=λa_n-λ-n²，若b_2n-1＞b_2n恒成立，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2），
两式相减得2a_n+1-2a_n+3（S_n-S_n-1）=3，即2a_n+1+a_n=3，（2分）
∴a_n+1=-12a_n+32，则a_n+1-1=-12（a_n-1），（4分）
由a₁=2，又2a₂+3S₁=7，得a₂=12，则a2-1a1-1=-12，
故数列{a_n-1}是以1为首项，-12为公比的等比数列．
则a_n-1=（a₁-1）（-12）^n-1，
∴a_n=（-12）^n-1+1，（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=λ[（-12）^n-1+1]-λ-n²=λ（-12）^n-1-n²．
由题意得b_2n-1＞b_2n，则有λ（-12）^2n-2-（2n-1）²＞λ（-12）^2n-1-（2n）²，
即λ（-12）^2n-2[1-（-12）]＞（2n-1）²-（2n）²，
∴λ＞-(4n-1)•4n6，（10分）
而-(4n-1)•4n6对于n∈N^*时单调递减，则-(4n-1)•4n6的最大值为-(4-1)46=-2，
故λ＞-2．（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。